Кинетическая энергия груза на пружине. Пружинный маятник
), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.
Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:
Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:
, где f(x) - это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.В случае наличия затухания , пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c :
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Пружинный маятник" в других словарях:
У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник (значения). Колебания маятника: стрелками показаны векторы скорости (v) и ускорения (a) … Википедия
Маятник - устройство, которое, колеблясь, упорядочивает движение механизма часов. Пружинный маятник. Регулирующая деталь часов, состоящая из маятника и его пружины. До изобретения маятниковой пружины, часы приводились в движение одним маятником.… … Словарь часов
МАЯТНИК - (1) математический (или простой) (рис. 6) тело небольших размеров, свободно подвешенное к неподвижной точке на нерастяжимой нити (или стержне), масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, совершающего гармонические (см.)… … Большая политехническая энциклопедия
Твёрдое тело, совершающее под действием прилож. сил колебания ок. неподвижной точки или оси. Математическим М. наз. материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая под действием силы… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Часы с пружинным маятником - пружинный маятник регулирующая часть часов, также используется в часах средних и маленьких размеров (переносные часы, настольные, и т.д.) … Словарь часов - маленькая спиральная пружина, прикрепленная концами к маятнику и его молоточку. Пружинный маятник регулирует часы, точность которых частично зависит от качества маятниковой пружины … Словарь часов
ГОСТ Р 52334-2005: Гравиразведка. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 52334 2005: Гравиразведка. Термины и определения оригинал документа: (гравиметрическая) съемка Гравиметрическая съемка, проводимая на суше. Определения термина из разных документов: (гравиметрическая) съемка 95… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рис.5. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере. Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости k и тела маятника m , в центре которого вмонтирован постоянный магнит. Движение маятника происходит в жидкости и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.
Рис.5 Блок-схема экспериментальной установки
Для увеличения силы сопротивления
при движении в жидкости,
тело маятника изготовлено
в виде шайбы с отверстиями.
Для регистрации колебаний
используется пьезоэлектрический
датчик, к которому
подвешена пружина маятника.
Во время движения маятника
сила упругости
пропорциональна смещению х
,
Так как ЭДС, возникающая в
пьезодатчике в свою очередь
пропорциональна силе давления,
то сигнал, получаемый с датчика
будет
пропорционален смещению
тела маятника от положения
равновесия.
Возбуждение колебаний осуществляется
с помощью магнитного
поля. Гармонический сигнал,
создаваемый ПК усиливается
и подается на
катушку возбуждения,
расположенную под телом
маятника. В
резултате этого катушки образуется
переменное во времени и неоднородное в пространстве
магнитное поле.
Это поле действует
на постоянный магнит,
вмонтированный в тело
маятника и создает внешнюю
периодическую силу. При движении
тела вынуждающую силу можно представить
в виде суперпозиции гармонических функций
, и колебания маятника будут являться
суперпозицией колебаний с частотами mw.
Однако заметное влияние на движение маятника
будет оказывать лишь составляющая силы на
частоте w
,
так как она наиболее близка к резонансной частоте.
Поэтому амплитуды
составляющих колебаний
маятника на частотах mw
будут малы.
То есть в случае
произвольного
периодического воздействия
колебания с большой степенью
точности можно считать гармоническими на
частоте w
.
Система обработки информации
состоит из аналого-цифрового
преобразователя и персонального
компьютера. Аналоговый сигнал
с пьезоэлектрического датчика
с помощью аналоге-цифрового преобразователя
представляется в цифровом виде и подается на
персональном компьютере.
Управление экспериментальной установкой с помощью ЭВМ
После включения компьютера и загрузки программы на экране мо-
нитора появляется основное меню,
общий вид которого показан на рис.5.
Используя клавиши управления
курсором
, ,
, ,
можно выбрать
один из пунктов меню.
После нажатия кнопки ENTER
компьютер приступает к
выполнению выбранного режима
работы. Простейшие подсказки
по выбранному режиму работы
содержатся в выделенной строке
внизу экрана.
Рассмотрим возможные режимы работы программы:
Статика
- этот пункт меню
используется для обработки
результатов первого упражнения
(см. рис.5)
После нажатия на
кнопку ENTER
компьютер запрашивает
массу груза маятника.
После следующего
нажатия кнопки ENTER
на экране появляется новая
картинка с мигающим
курсором. Последовательно
записывают на экране массу
груза в граммах и,
после нажатия пробела,
величину растяжения пружины.
Нажав на ENTER
переходят на новую строку
и снова записывают массу
груза и величину растяжения
пружины. Допускается
редактирование данных в
пределах последней
строки. Для этого нажав
клавишу Backspase
удаляют неправильное значение
массы или растяжения пружины
и записывают новое значение.
Для изменения данных в других
строках необходимо последовательно
нажать Esc
и ENTER
,
а затем повторить набор
результатов.
После набора данных
нажимают на функциональную
клавишу F2
.
На экране появляются
расчитанные с помощью
метода наименьших
квадратов значения
коэффициента жесткости
пружины и частоты
свободных колебаний маятника.
После нажатия на ENTER
на экране монитора появляется
график зависимости упругой силы
от величины расрастяжения пружины.
Возврат в основное меню происходит
после нажатия любой клавиши.
Эксперимент
-
этот пункт имеет несколько
подпунктов (рис.6).
Рассмотрим особенности
работы каждого из них.
Частота
- в этом режиме
с помощью клавиш управления
курсором осуществляется
задание частоты вынуждающей
силы. В том случае,
если проводится эксперимент
со свободными колебаниями,
то необходимо установить
значение частоты равное 0
.
Старт
- в этом режиме после
нажатия кнопки ENTER
программа начинает снимать
экспериментальную зависимость отклонения
маятника от времени. В
том случае, когда частота
вынуждающей силы равна
нулю, на экране появляется
картина затухающих колебаний.
В отдельном окошке записываются значения частоты колебаний и постоянной
затухания. Если частота возбуждающей
силы не равна нулю, то наряду
с графиками зависимостей отклонения
маятника и вынуждающей
силы от времени на экране
в отдельных окошках записываются
значения
частоты вынуждающей силы и ее амплитуды,
а также измеренных
частоты и амплитуды
колебаний маятника.
Нажав на клавишу Esc
можно
выйти в основное меню.
Сохранить
- если результат
эксперимента удовлетворителен, то
его можно сохранить, нажав на соответствующую клавишу меню.
Нов. Серия
- этот пункт меню используется в
том случае, если возникла необходимость
отказаться от данных текущего эксперимента.
После нажатия клавиши ENTER
в этом режиме из памяти машины
стираются результаты всех предыдущих
экспериментов, и можно начать новую серию измерений.
После проведения эксперимента переходят в режим
Измерения
.
Этот пункт меню имеет несколько подпунктов (рис.7)
График АЧХ
- этот пункт
меню используется после окончания
эксперимента по изучению вынужденных колебаний. На экране монитора
строится амллитудно-частотная
характеристика вынужденных
колебаний.
График ФЧХ
- В этом режиме после окончания эксперимента по
изучению вынужденных
колебаний на экране
монитора строится
фазочастотная характеристика.
Таблица
- этот пункт
меню позволяет выдать на экран
монитора значения амплитуды и фазы
колебаний в зависимости от частоты
вынуждающей силы. Эти данные
переписываются в тетрадь для
отчета по данной работе.
Пункт меню компьютера Выход
- окончание работы программы
(см. например, рис. 7)
Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.
Измерения проводятся путем определения удлинения пружины под действием грузов с известными массами. Рекомендуется провести не менее 7-10 измерений удлинения пружины постепенно подвешивая грузы и изменяя тем самым нагрузку от 20 до 150 г. Используя пункт меню работы программы Статистика результаты этих измерений заносят в память компьютера и определяют коэффициент жесткости пружины используя метод наименьших квадратов. В ходе выполнения упражнения необходимо расчитать значение собственной частоты колебаний маятника
Определение 1
Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .
Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:
F у п р = - k x .
Определение 2
Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими .
То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.
Определение 3
Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.
Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.
Круговая частота
Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
m a = - k x = m ω 0 2 x .
Значит, получаем:
Определение 4
Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы .
Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:
x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.
Определение 5
При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:
Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:
m a - m x = - k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .
Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos (ω t + φ 0) .
Определение 6Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний . Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т.
Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.
Пример 1
При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .
Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.
Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.
Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р:
M у п р = - x θ .
Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид
I ε = M у п р = - x θ или I θ ¨ = - x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.
Аналогично с формулой пружинного маятника:
ω 0 = x I , T = 2 π I x .
Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.
Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Колебания массивного тела, обусловленные действием упругой силыАнимация
Описание
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.
Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене (рис. 1).
Пружинный маятник
Рис. 1
Прямолинейное движение тела описывают посредством зависимости его координаты от времени:
x = x (t ). (1)
Если известны все силы, действующие на рассматриваемое тело, то эту зависимость можно установить при помощи второго закона Ньютона:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
где m - масса тела.
Правая часть уравнения (2) есть сумма проекций на ось x всех действующих на тело сил.
В рассматриваемом случае главную роль играет упругая сила, которая является консервативной и может быть представлена в виде:
F (x ) = - dU (x )/dx , (3)
где U = U (x ) - потенциальная энергия деформированной пружины.
Пусть x есть удлинение пружины. Экспериментально установлено, что при малых значениях относительного удлинения пружины, т.е. при условии, что:
Ѕ x Ѕ << l ,
где l - длина недеформированной пружины.
Приближенно справедлива зависимость:
U (x ) = k x 2 /2, (4)
где коэффициент k называют жесткостью пружины.
Из этой формулы вытекает следующее выражение для упругой силы:
F (x ) = - kx . (5)
Эту зависимость называют законом Гука.
Кроме силы упругости на движущееся по плоскости тело может действовать сила трения, которая удовлетворительно описывается эмпирической формулой:
F тр = - r dx /dt , (6)
где r - коэффициент трения.
С учетом формул (5) и (6) уравнение (2) можно записать так:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t ), (7)
где F (t ) - внешная сила.
Если на тело действует только сила Гука (5), то свободные колебания тела будут гармоническими. Такое тело называют гармоническим пружинным маятником.
Второй закон Ньютона в этом случае приводит к уравнению:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt (k /m ) (9)
Частота колебаний.
Общее решение уравнения (8) имеет вид:
x (t ) = A cos (w 0 t + a ), (10)
где амплитуда A и начальная фаза a определяются начальными условиями.
Когда на рассматриваемое тело действует только сила упругости (5), его полная механическая энергия не изменяется с течением времени:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const . (11)
Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии гармонического пружинного маятника.
Пусть на массивное тело кроме упругой силы, возвращающей его в положение равновесия, действует сила трения. В этом случае возбужденные в некоторый момент времени свободные колебания тела будут затухать с течением времени и тело будет стремиться к положению равновесия.
В этом второй закон Ньютона (7) можно записать так:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
где m - масса тела.
Общее решение уравнения (12) имеет вид:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Частота колебаний,
b = r / 2 m (15)
Коэффициент затухания колебаний, амплитуда a и начальная фаза a определяются начальными условиями. Функция (13) описывает так называемые затухающие колебания.
Полная механическая энергия пружинного маятника, т.е. сумма его кинетической и потенциальной энергий
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
изменяется с течением времени по закону:
dE / dt = P , (17)
где P = - rv 2 - мощность силы трения, т.е. энергия, переходящая в тепло за единицу времени.
Временные характеристики
Время инициации (log to от -3 до -1);
Время существования (log tc от 1 до 15);
Время деградации (log td от -3 до 3);
Время оптимального проявления (log tk от -3 до -2).
Loading...